Estudo

Teorema de Pitágoras – História, Fórmula e Aplicação

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Uma das principais descobertas da Matemática foi o Teorema de Pitágoras. O teorema descreve a relação existente no triângulo retângulo, que é identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90°, e dois ângulos que, somados, também chegam a 90°. O triângulo retângulo tem sua formação em dois catetos e a hipotenusa, sendo que esta é o maior segmento do triângulo, ficando localizada em oposição ao ângulo reto.

Exemplificando, na figura abaixo temos “a” e “b” como catetos e “c” como hipotenusa:

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11 Teorema de Pitu00e1goras

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Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, temos que:

a² + b² = c²

Vamos exemplificar melhor o enunciado do Teorema de Pitágoras: na figura abaixo, vamos calcular o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo:

112 Teorema de Pitu00e1goras

x² = 9² + 12²

x² = 81 + 144

x² = 225

x² = √225

x = 15

Teorema de Pitágoras: Fórmula

O Teorema de Pitágoras propiciou que os conceitos e definições dos números irracionais fossem introduzidos nos estudos da Matemática. Assim, o primeiro número irracional que apareceu foi a raiz quadrada (√2), que surgiu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos com medida de 1 (um).

O Teorema de Pitágoras é explicado na geometria euclidiana, onde se afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Como sabemos, por definição, que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que foram o triângulo, temos um enunciado que relaciona comprimentos. O Teorema de Pitágoras, no entanto, também pode ser enunciado estabelecendo uma relação entre as áreas do triângulo retângulo:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa, é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

Contudo, para ambos os enunciados, a equação é a mesma:

113 Teorema de Pitu00e1goras

Na equação, “c” representa o comprimento da hipotenusa, enquanto “a” e “b” representam os comprimentos dos outros dois lados do triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras: História

O Teorema de Pitágoras tem o nome do matemático grego que viveu entre 570 AC e 495 AC, considerado tradicionalmente o seu descobridor. No entanto, estudiosos matemáticos argumentam que o conhecimento do teorema é anterior a ele, havendo mesmo evidências de que os matemáticos da antiga Babilônia já o conheciam, embora não se saiba se conheciam os algoritmos gerais, da forma como apresentados pelo Teorema de Pitágoras.

No Teorema de Pitágoras temos um caso particular da Lei dos Cossenos, do matemático persa Ghiyath Al-Kashi, que viveu entre 1380 e 1429 DC, que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de um dos três ângulos.

Não sabemos exatamente qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras para o seu teorema. Durante o tempo, temos muitas demonstrações publicadas, inclusive no livro “The Pithagorean Proposition”, de Elisha Scott Loomis, onde estão apresentadas 370 demonstrações diferentes.

O livro de Euclides, “Os Elementos”, também apresenta demonstrações, além de obras do matemático indiano Bhaskara Akaria, do italiano Leonardo da Vinci e até mesmo do vigésimo presidente dos Estados Unidos, James Garfield.

Uma das mais incríveis descobertas da Matemática, o Teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, baseando-se em provas dessas interpretações. A fórmula para o novo perímetro em cada duplicação é deduzida dos triângulos retângulos que surgem na construção.

O filósofo e matemático Arquimedes, em “Sobre as Medidas do Círculo”, também utilizou o Teorema de Pitágoras para calcular uma aproximação para o valor do número Pi. Ele conseguiu isso posicionando um hexágono regular circunscrito a um círculo e um hexágono regular menor inscrito no círculo.

Realizando a progressiva duplicação do número de lados de cada polígono regular obtido por esse método, cada perímetro em cada nova etapa era calculado por meio do Teorema de Pitágoras.

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