Estudo, Matemática

Seno, cosseno e tangente

Seno, cosseno e tangente nos triângulos retângulos

Seno, cosseno e tangente são uma grande dor de cabeça para qualquer estudante de trigonometria. Mas é simples entender suas definições. Basta, para isso, um pouco de atenção. Vamos, em primeiro lugar, entender o que é cada um desses termos que fazem os estudantes perder os cabelos.

Objetivos da trigonometria

O principal objetivo da trigonometria é fazer os cálculos de medidas de cada elemento de um triângulo retângulo, com seus lados e ângulos, dentro de suas propriedades. Para fazer esses cálculos, precisamos conhecer alguns pontos essenciais:

  • Ângulos, que são as figuras formadas por duas semirretas, partindo de um mesmo ponto. A unidade de medida dos ângulos é em graus, sempre acompanhando o comprimento do círculo, que tem como medida máxima 360°. Os ângulos podem ser rasos, quando a medida é 180°; retos, quando a medida é 90°; agudos, quando a media for menor quer 90°; e obtusos, quando a medida estiver entre 90° e 180°.
  • Triângulo retângulo, que é a figura geométrica com três ângulos, sendo um reto, com 90°, e com dois lados que são chamados de catetos. O lado que liga os outros ângulos é chamado de hipotenusa, formando dois ângulos agudos, cuja soma deve ser sempre 90°.

Seno, cosseno e tangente, as relações entre os lados do triângulo

Os cálculos que devemos fazer sobre o triângulo retângulo são sobre as relações existentes entre os lados do triangulo e os seus ângulos, ou seja, as funções trigonométricas, que são o seno, o cosseno e a tangente.

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Na figura que apresentamos, temos a hipotenusa representada pela letra “a”, com um dos catetos sendo a letra “b” e o outro a letra “c”. Ainda vamos ter o ângulo reto e os dois ângulos agudos, representados por α e β.

seno

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Para calcular o seno de um ângulo agudo, temos de fazer a divisão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa:

Sen α = b/a

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Sen β = c/a

Se quisermos calcular o cosseno de um ângulo agudo, devemos dividir o cateto próximo a ele e a hipotenusa:

Cos α = c/a

Cos β = b/a

O seno e o cosseno sempre terão valores entre 0 e 1, uma vez que a medida dos catetos sempre será menor que a medida da hipotenusa.

Ao buscarmos a tangente de um ângulo agudo, fazemos a divisão entre os catetos, obtendo sempre como resultado um número real positivo.

Tg α = b/c

Tg β = c/b

Seno, cosseno e tangente – Propriedades

Devemos também levar em conta que o seno, cosseno e tangente possuem suas próprias propriedades:

  • O seno do ângulo α é igual ao cosseno do ângulo β

  • O cosseno do ângulo α é igual ao seno do ângulo β

  • A tangente do ângulo α é igual à divisão de 1 pela tangente de β

  • A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo, ou seja, tg α = sen α / cos α

  • A tangente de β também é igual à divisão do seno pelo cosseno do seu ângulo, ou seja, tg β = sen β / cos β

Alguns dos ângulos que aparecem frequentemente em nossos cálculos são chamados de ângulos notáveis. Os ângulos notáveis possuem o valor do seno, cosseno e tangente já calculados, seguindo uma tabela

Tabela Seno, Cosseno e Tangente

Ângulo

Seno

Cosseno

Tangente

30

½ ou 0,5

√3/2 ou 0,86602

√3/3 ou 0,57735

45

√2/2 ou 0,70710

√2/2 ou 0,70710

1

60

√3/2 ou 0,86602

½ ou 0,5

√3 ou 1,73205

Os livros de trigonometria apresentam tabelas com os valores definidos para todos os ângulos.

Como calcular seno, cosseno e tangente

Vamos ver, a seguir, como calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo de um triângulo retângulo com medidas de 5, 4 e 3 cm:

Vamos lembrar que já sabemos que sen α= b/a. Então, vamos ter os seguintes valores:

b = 3

c = 4

a = 5

Quando aplicamos os valores que já sabemos na fórmula vamos ter que o valor de sen α será:

SEM Α=3/5

SEN Α= 0,6

Assim, se já temos o valor de sen α, podemos calcular o cosseno e a tangente. Para fazer isso, vamos usar a seguinte fórmula:

SEM Α² + COS Α² = 1

Vamos então substituir sen α pelo valor encontrado, que é 0,6 para montarmos a seguinte expressão:

0,6² + COS Α² = 1

0,36 + COS Α² = 1

Como o valor de 0,36 passa a ser negativo no outro lado da igualdade, teremos:

COS Α² = 1 – 0,36

COS Α² = 0,64

Agora, para chegar ao valor final, o expoente passa para o outro lado da igualdade como raiz quadrada:

COS = √0,64

COS = 0,8

Chegamos, portanto, ao resultado do valor do cosseno, que é 0,8. Se quisermos chegar ao valor da tangente, vamos usar uma das propriedades que apresentamos antes (A tangente de α é igual à divisão do seno pelo cosseno do mesmo ângulo):

Tg α = sen α/cos α

tg α = 0,60/ 0,8

tg α = 0,75

Assim, para esse triângulo retângulo, temos os valores de 06, para o seno; 0,8 para o cosseno; e 0,75 para a tangente. Comece a experimentar com outros valores e divirta-se.

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