Estudo, Matemática

Função Exponencial – Propriedades, Conceito e Exercícios

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Chamamos de Função Exponencial a função f : R → R*, tal que f(x) = ax, onde a ∑ R e 0 < a ≠ 1. O valor representado por “a” é chamado de base da função Exponencial. A função f(x) = ax pode ser tanto crescente quanto decrescente, dependendo do valor da base. Assim, se a > 1, a função é crescente. No caso de 0 < a < 1, a função é decrescente.

Toda e qualquer dependência onde uma incógnita depende do valor da outra é chamada de função. A função que conhecemos como Exponencial possui uma relação de dependência, sendo sua principal característica o fato de sua parte variável, representada por x, encontrar-se no expoente.

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  • y = 2x
  • y = 3x + 4
  • y = 0,5x
  • y = 4x

A regra que estabelece a formação de uma função Exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior do que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

  • f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico e, no caso da função Exponencial, podemos ter duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Veja, a seguir, os gráficos constituídos, respeitando as condições apresentadas:

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Uma função Exponencial é usada para a representação de situações onde a taxa de variação é considerada grande, como por exemplo, no caso de rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de uma cultura de bactérias e micro-organismos, no crescimento populacional entre duas situações, entre outros.

A função exponencial deve ser resolvida, quando necessário, utilizando as regras que envolvem a Potenciação.

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Dentro dessa característica, podemos apresentar a função Exponencial como uma extensão do processo de Potenciação para expoentes não inteiro. Assim, quando temos um número natural n maior do que 1, a potência an vai indicar a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, ou seja:

Nesta definição, temos as seguintes propriedades:

Para entendermos essas propriedades para o expoente zero, expoentes negativos e racionais, devemos definir:

Então, podemos definir a função exponencial para todo expoente x através dos seguintes limites:

Com esses limites, a função y = ax é a única função contínua y = f(x) que satisfaz a seguinte propriedade:

De uma forma mais comum, a função Exponencial é definida, em termos da função Exponencial Natural e sua inversa, o Logaritmo Natural:

A função Exponencial deve satisfazer sempre alguns axiomas básicos de definição:

Partindo desses axiomas, poderemos extrair da função Exponencial as seguintes propriedades operacionais:

Função Exponencial – Exemplos

Partindo para o lado prático, vamos analisar alguns exemplos envolvendo o uso de funções Exponenciais:

Exemplo 1

Uma máquina industrial possui sua depreciação de tal maneira que o seu valor, t anos após sua compra, é dado pela expressão v(t) = v0° * 2° – 0,2t, onde sabemos que v0 é uma constante real. Se a máquina estiver valendo R$ 12 mil após 10 anos de utilização, vamos determinar o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

  • v(10) = v0 * 2 –0,2*10
  • 12 000 = v0 * 2 –2
  • 12 000 = v0 * ¼
  • 12 000 : 1/ 4 = v0
  • v0 = 12 000 * 4
  • v0 = 48 000

Como resultado, temos que a máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 mil.

Exemplo 2

Vamos supor que no PIB – Produto Interno Bruto de um país seja de 500 bilhões de dólares em 2003. No caso do PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, quanto será esse PIB em 2023, em bilhões de dólares, usando 1,0320° = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

  • P(x) = P0 * (1 + i)t
  • P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
  • P(x) = 500 * 1,0320
  • P(x) = 500 * 1,80
  • P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.

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