Estudo, Matemática

Média Aritmética

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A média aritmética é um medida de tendência central de uma quantidade de números, sendo muito utilizada em diversas atividades. Ela é o resultado da divisão da soma dos números dados pela quantidade de números somados, nada mais do que isso. Mas, podemos nos aprofundar um pouco mais e entender melhor o que é a média aritmética.

O cálculo da média aritmética é utilizado para determinar a média de pontos em campeonatos de futebol, verificando quem está na frente; para calcular a média final dos alunos durante o ano; para pesquisas estatísticas, podendo determinar o direcionamento do levantamento feito num assunto de interesse público e muitos outros usos.

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Média aritmética – Quem Descobriu?

Arquitas de Tarento, um matemático grego da época de Pitágoras, foi quem primeiro definiu as médias aritméticas. Arquitas viveu entre 428 e 347 aC e foi filósofo, cientista, matemático, estrategista, estadista e astrônomo.

Arquitas é considerado um dos mais ilustres matemáticos, tendo sido discípulo de Filolau de Crotona e amigo de Platão. Entre outras coisas, foi o responsável pela divulgação da mecânica matemática, tendo influenciado Euclides, e foi o primeiro a usar o cubo em geometria, restringindo a matemática às disciplinas técnicas, como a astronomia, a acústica, a aritmética e a geometria.

Embora tenha escrito inúmeras obras sobre mecânica e geometria, de Arquitas de Tarento só restaram fragmentos, onde mostra que seus interesses eram a matemática e a música.

Arquitas também desenvolveu o termo média harmônica, que se tornou importante para a geometria projetiva e a teoria dos números. Segundo estudiosos, ele resolveu o problema da duplicação do cubo à sua maneira, através de uma construções geométrica, ampliando os estudos de Hipócrates de Quios, o responsável pelo desenvolvimento das médias proporcionais.

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O desenvolvimento da teoria das proporções foi tratado no livro VIII de “Os Elementos”, de Euclides, onde se mostra a construção de duas médias proporcionais, equivalentes à extração da raiz cúbica. Essa demonstração utiliza linhas geradas pelo movimento das figuras, construindo as duas proporcionais entre as magnitudes, sendo uma das primeiras teorias em que se aplicou a geometria para os conceitos da mecânica. A curva de Arquitas é usada na solução do problema da duplicação do cubo, tendo seu nome em virtude dos estudos do mestre grego.

Média aritmética – Conheça mais

A média aritmética é um número resultado da divisão da soma de dois outros, quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro. Isso se chama média geométrica, quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo.

A média harmônica acontece quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede com relação ao terceiro. Consideramos, assim, na matemática moderna, que o primeiro seja x, o segundo m e o terceiro y, formando a equação y (x > m > y > 0).

(média aritmética)

(média geométrica)

(média harmônica)

Após as transformações necessárias, chegamos às seguintes fórmulas:

  • Para a média aritmética:
  • Para a média geométrica:
  • Para a média harmônica:

Média aritmética – Os tipos de Média

A matemática apresenta dois tipos de média aritmética: a simples e a ponderada.

Na média aritmética simples, que é a mais utilizada, obtemos o resultado dividindo a soma dos números pelo sua quantidade. É um quociente representado pelo símbolo x, onde podemos montar a seguinte expressão:

Na média aritmética ponderada, temos uma série de números, como por exemplo, x1, x2, x3…, xn, de forma que cada um esteja sujeito a um determinado peso. O peso, aqui, é considerado um sinônimo de ponderação, indicado por p1, p2, p3, …, pn. A média ponderada desses números é a soma dos produtos de cada um, multiplicados por seus respectivos pesos, dividido pela soma dos pesos, montando a equação:

Essas médias podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas, sendo que sua única restrição é que a soma dos pesos seja um número diferente de zero.

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